4 de septiembre de 2010

El problemático juego de la botella


Me gusta almorzar con el agua fría de una botella de cristal que guardo en la puerta de mi nevera. Pero mientras que como, nunca me bebo la botella entera; suelo tomarme sólo la mitad y después relleno el volumen consumido con agua del grifo. Llevo haciendo esto meses.

Anoche, volviendo a casa, me planteé una inquietante pregunta: ¿quedará todavía en la botella alguna molécula de agua esperando a ser bebida desde el día que la compré?

Para resolver este problema, calculé primero cuántas moléculas de agua hay en un litro, suponiendo (y ya es mucho suponer) que sea agua pura. Según Avogadro, el amigo de los niños, un mol de agua pesa 18 gramos. Como un litro de agua pesa un kilo, un litro de agua son 55,56 moles, lo que equivale a 3,35*10^25 moléculas de agua (más o menos 33 cuatrillones).

El primer día, al beber media botella, reduje esta cifra de moléculas a la mitad. Rellené la botella y mezclé el agua antigua con la nueva. El segundo día, volví a reducir la cifra de moléculas a la mitad, quedando la cuarta parte de las moléculas originales. Así, el tercer día quedó la octava parte y el cuarto, la dieciseisava. Se puede plantear con la siguiente ecuación cuántos días necesito para que quede una sola molécula:

Número de moléculas / 2 elevado al número de días = 1.

En resumen y despejando, (3,35 * 10^25) / 2^x = 1, donde x=84,79.

O sea, que en 85 días no debería quedar ninguna molécula original de agua. Sencillo, ¿no?

Pues no. Pronto caí en la cuenta de que el problema es mucho más complejo. Vayámonos al día en el que queda una sola molécula. Podría bebérmela o no bebérmela, con un 50% de posibilidades de hacerlo. Si no lo hago y relleno la botella, al día siguiente vuelvo a tener el mismo problema. Ésa última molécula de agua podría resultar terriblemente escapadiza y quedarse en la botella para siempre. Claro, que cada día que pase, el hecho de que siga quedando esa molécula en la botella es menos probable. Matemáticamente, la probabilidad de que quede agua en la botella a partir del día 85 se calcularía con la siguiente fórmula:

p = 1 / (2^(día - 85))

¿Hemos terminado? Yo al principio creí que sí, pero al final me di cuenta de que no. Si retrocedemos al día 84, en el que todavía quedan dos moléculas, ¿qué ocurre si me dejo las dos dentro de la botella? ¿Qué ocurre si me bebo las dos? ¿Qué pasa si el día que quedan cuatro moléculas no me bebo ninguna? Según la distribución binomial, cuanto menos moléculas quedan menos probable es que me aproxime al número de moléculas que debería beber para que se cumpliera mi modelo. ¡Todas las cuentas se vuelven inútiles!

Parece lógico pensar que la solución de 85 días es una aproximación. Cómo de buena es ésta aproximación y si existe una manera mejor de enfocar este problema son dudas con las que llevo luchando el día de hoy.

Foto: La dichosa botella.

30 firmas. Añade tú la tuya:

Diego y Puchupo dijo...

Increíble análisis... no sólo no sería capaz de plantearmelo, sino que ni en el mejor de mis días habría llegado a las conclusiones lógicas...

Soy un caso...

... tú un crack

@JokinGonzalez dijo...

Muy bien. Acabas de justificar a todos los que creen en la homeopatía. @mondomedico y @ecjpr van a hacerte una visita…

Emilienko dijo...

@JokinGonzalez La homeopatía sigue sin tener sentido: en ningún lugar se justifica que la disminución de la dosis aumente la potencia.

@JokinGonzalez dijo...

No, pero dices que siguen quedando sustancias tras las diluciones, y son esas partículas las que hacen efecto

Emilienko dijo...

@JokinGonzalez Sí. Y lo curioso es que, con mi argumento, la ciencia me apoya,... jajaja. ¡Aunque no digo que el agua tenga memoria!

Marche dijo...

Emilio, no te estoy troleando ni nada por el estilo, pero... conoces la Playstation? xD

Anuxi dijo...

me ha encantado!!! frikismo en estado puro, pero me encanta tu teoría!! :)

Diario de una mamá pediatra dijo...

Curioso porque a mí también me ha venido a la cabeza la dichosa homeopatía. Creía que el post acabaría hablando de ella....
La verdad es que nunca las matemáticas han sido mi fuerte y nunca me hubiera planteado una cuestión similar...

Miguel A. Tovar dijo...

"Claro, que cada día que pase, el hecho de que siga quedando esa molécula en la botella es menos probable". Emilio, la probabilidad de beberte la molécula no cambia con el número de intentos. Cada vez que se parte de 1 litro de agua, la probabilidad de beberte la única molécula original que queda es siempre la misma. Lo que varía con el tiempo es la probabilidad de encontrar moléculas originales. Este problema no tiene una respuesta en número de días, sino en términos probabilísticos. Para cada día existe alguna probabilidad de encontrar una molécula original. Probablemente cuando el número de días tiende a infinito la probabilidad de encontrar moléculas originales tienda a cero.

BlackZack dijo...

Para que el post de Emilio defendiese la homeopatia, habria que asumir que esa "disciplina" se adscribe al pensamiento cientifico, por el cual, el hecho de que aun queden moleculas originales tiene algun significado.

La intencion de los homeopatas es que no haya siquiera una, porque asi es mas potente el remedio... O algo asi.

En fin, que no te comas la cabeza, Emilio, que todas las moleculas de agua son iguales. Y como no tienen memoria, pues oye, no te guardaran rencor por haberlas bebido o dejado de beber XD

@JokinGonzalez dijo...

@Emilienko Sí, ése es el punto débil de mi contraargumentación ;-)

Emilienko dijo...

@Miguel A. Tovar

Creo que los dos nos estamos refiriendo a lo mismo. Esa frase se refiere a lo que ocurre a partir del día que sólo queda una molécula.

El día 86, la probabilidad de que quede una molécula es de 0,5; el 87, de 0,25; el 88, de 0,125 y así se crea la fórmula:

p = 1 / (2^(día - 85)).

En realidad, esta fórmula es una simplificación de la función binomial de probabilidad:

fp = ( n! / (k!*(n-k)!) ) * p^k * (1-p)^(n-k)

En nuestro caso, p = 0,5 y por tanto 1-p es 0,5 también. Por otro lado, k, entendida como número de éxitos es cero (aunque me deba la mitad de la botella n veces, en ninguna de esas n veces debo beberme la última molécula.

Sustituyendo:

fp = ( n! / (k!*(n-k)!) ) * p^k * (1-p)^(n-k)

fp = ( n! / (0!*(n-0)!) ) * 0,5^0 * (1-0,5)^(n-0)

fp = ( n! / (1*n!) ) * 1 * (0,5)^n

fp = (n! / n!) * 1 * (0,5)^n

fp = 1 * 1 * (0,5)^n

fp = (0,5)^n

fp = (1/2)^n

fp = (1^n)/(2^n)

fp = 1 / (2^n)

En resumen, creo que con diferentes palabras los dos nos referíamos a lo mismo. Efectivamente, la probabilidad de dejarse la última molécula dentro después de cada experimento es la misma (0,5). Al repetir el experimento, según nos apoya la teoría binomial, las probabilidades decrecen.

Un saludo y gracias por participar.

Menelwen dijo...

Primero, éso es igual que la flecha que nunca llega a la puerta porque cada vez recorre la mitad de su distancia, y conforme se va a acercando, esa mitad se convierte en partes infinitésimas, y no llega.
Segundo, la solución es sencilla: seca la botella por dentro, asegúrate de que no queda ni una puñetera molécula y rellénala de nuevo xD.

Cherry dijo...

Muchas veces me pregunto el mismo tipo de cosas. Sólo que yo me ahorro los cálculos y me quedo con la duda desde el principio.

Por cierto, ¿cuántos días llevas bebiendo de esa botella?




PD: Gracias a mis observaciones, estoy convencida al 90% de la heterosexualidad de mi vecino.

dra jomeini dijo...

Y yo que al leer el título pensaba en un juego de una botella rodando y besos al azar...Me preguntaba: ¿pero qué le ha dado a Emilio para hablar de eso? Afortunadamente, era sólo el título ;-D. Gran entrada.

angelurri dijo...

he estado todo agosto estudiando estadistica,,, te odio,,,
por otro lado, podrías tener la costumbre de vaciar la botella y darle un enjuagon una vez al mes :)

Dr. Bonis dijo...

La probabilidad de sacar una molécula determinada de una botella de agua no es igual a 0,5.

Piensa en pelotas de ping pong en vez de en moléculas y te darás cuenta.

Supuesto 1: tienes una caja con 2 pelotas de pingpong, una roja y el resto (una) blancas... ¿cuál es la probabilidad de al sacar la mitad de las pelotas de la caja saques la bola roja?... en este caso es 0,5

Ahora tienes 4 pelotas de pingpong, 1 roja y el resto (3) blancas. ¿Cuál es la probabilidad de al sacar la mitad de las pelotas de la caja, sacar la roja?...

- vas a sacar la mitad (2)... así que la probabilidad de sacarlo a la primera es 1 / 4. En la segunda tanda quedan 3 pelotas, una roja y dos blancas, así que la probabilidad es de 1 / 3. En definitiva:

P = 1 / 4 + 1 / 3 = 0,58

Ahora tienes 100 pelotas de ping pong, una roja y 99 blancas... la probabilidad de sacando la mitad de las pelotas obtener la roja es de:

P = 1 / 100 + 1 / 99 + 1 / 98 ... 1 / 51 = 0.6881

¿Pero y si tenemos 10.000 pelotas de ping-pong?... entonces:

P = 1 / 10.000 + 1 / 9.999 + .... = 0.69309 ...

Se puede observar como cuando el número de pelótas de pingpong (o de moléculas de agua en la botella) tiende a infinito, la probabilidad de sacar la pelota de ping pong roja al extraer la mitad de las pelotas tiende a 0,6931 ...

que no es otra cosa que el logaritmo neperiano de 2, es decir el mágico número de Euler (2,7183) elevado a dos.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e

Dr. Bonis dijo...

PD: por supuesto de ahí podemos calcular la probabilidad de que la molécula de agua original continúe allí cada vez que vacias la mitad del agua...

Como P(continuar) = ln(e), entonces P(no continuar) = 1 - ln(e).

De modo que la probabilidad de tener la molécula en la botella después de 10 días es:

P(cont|n=10) = (1 - ln(e))^10

Que en este caso es:

0.000007

O en otras palabras, a partir del cuarto día las probabilidades si mi desarrollo es correcto son bastante bajas.

Emilienko dijo...

@Dr. Bonis

Creo que, pese a tu razonamiento, la probabilidad es de 0,5. Para demostrarlo, vayamos al ejemplo que has propuesto donde hay cuatro pelotas de Pingpong; una es roja y las otras tres blancas. Para identificarlas, las llamaremos A, B y C.

Al sacar las dos de las cuatro, puedo tener doce posibilidades (variaciones):

1. Roja + A
2. Roja + B
3. Roja + C
4. A + Roja
5. A + B
6. A + C
7. B + Roja
8. B + A
9. B + C
10. C + Roja
11. C + A
12. C + B

Tengo seis posibilidades de éxito entre doce, por lo que la probabilidad de sacar la pelota roja es de 0,5.

El mismo razonamiento funciona para siete pelotas blancas y una roja; al hacer la cuenta sale 0,5.

Tu razonamiento ha fallado en que la probabilidad de sacar la pelota roja habiendo sacado antes una blanca no es 1/3.

Es un 1/3 por 3/4 (la probabilidad de que la primera pelota sea blanca), que es 1/4.

Este cuarto más el otro cuarto, la probabilidad de sacar la primera pelota de color rojo, suma 1/2.

Un ejemplo del error que has cometido lo propuso Warren Weaver en una paradoja llamada "El timo de las tres cartas", que es entusiasmante y que te animo a leer.

Muchas gracias por tu razonamiento. Espero no haberme equivocado en la respuesta :)

Jorge Fdez. dijo...

Muy buena esta entrada, aunque me has pillado en un momento en el que, más allá de lo que tú expones, no estoy muy en condiciones de darle vueltas al coco. ^_^

Fer dijo...

Emilio, no te compliques la vida. El factor que crees que falta es tener en cuenta que cualquier cosa puede pasar, más allá de los límites -irreales- que nos planteamos.
Estoy con Marxe y Menelwen XD

Fer dijo...

BTW, me quito el sombrero ante semejante entrada. (¡Tenía que decirlo!)

Dr. Bonis dijo...

Interesante,

Tienes razón, considerando la secuencia de extracciones de la pelota de ping-pong.

Pero entonces tendrás que revisar tu asunción de los 85 días, porque la probabilidad de eliminar la mitad del agua original no es del 100%, sino del 50%.

Pongamos el ejemplo de las pelotas de ping-pong. Partimos de un estado de 2 rojas (agua vieja) y dos blancas (agua nueva). Por notación (2,2). Vamos a sacar 2 pelotas (la mitad del agua). La tabla de probabilidades de estados finales es:

sacamos todo el agua vieja: (0,2)
sacamos la mitad del agua vieja: (1,1)
sacamos todo el agua nueva: (2,0)

P(0,2) = 1/2 x 1/3 = 0.1666
P(1,1) = 1/2 x 2/3 + 1/2 x 1/3 = 0.4999
P(2,0) = 1/2 x 1/3 = 0.1666

De modo que para 4 pelotas (o moléculas) existe una posibilidad de 17% de eliminar todas las antiguas en el primer día.

Por supuesto si hacemos el cálculo para más pelotas de ping-pong obtenemos una curva más cercana a la realidad. Por ejemplo para 8 pelotas (4,4):

P(0,4)=0.0143
P(1,3)=0.2286
P(2,2)=0.5143
P(3,1)=0.2286
P(4,0)=0.0143

Por lo tanto tu premisa de los 85 días es errónea.

En cualquier caso, si partimos del momento en que quedara una sola molécula (momento muy improbable) y como la probabilidad de sacar esa molécula es del 50%, en 10 días la probabilidad sería de 0,0009, que es tan baja que casi se puede descartar.

Emilienko dijo...

@Dr. Bonis

Has dado en el clavo. Y precisamente por eso, al final del texto llego a la conclusión de que todas las cuentas son aproximadas.

Si representaras en un gráfico las cuentas que has hecho en tu respuesta anterior, obtendrías una función discreta llamada función binomial, que depende de:

1. Del número total de pelotas de ping pong, que llamaremos "n".
2. De la probabilidad de sacar una pelota de ping pong, que llamaremos "p".
3. Del número de éxitos (pelotas rojas que queramos sacar en la misma tanda), que llamaremos "k".

La probabilidad de sacar un número de pelotas rojas (k) sabiendo el número de pelotas totales (n) y la probabilidad de sacarlas (p) viene dada por la siguiente fórmula:

FP = (n sobre k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Cuando se cumple que n*p es > 5, la función binomial se aproxima bastante a una normal.

La desviación típica de esta distribución es la raíz cuadrada de n*p*(1-p).

Es decir, la desviación típica de la población es directamente proporcional a la raíz cuadrada del número total de pelotas.

Cuando el número de moléculas, o de pelotas, es muy alto, como ocurre en nuestro ejemplo, el coeficiente de variación (desviación típica partido por media) es ridículamente pequeño. Por eso, mi planteamiento del problema es una buena aproximación mientras el número de moléculas sea grande.

Cuando queden un millón de moléculas, la media de moléculas antiguas que sacaría bebiendo la mitad del agua es de 500.000 y la desviación típica de 500; por lo que el intervalo de confianza al 95% es más o menos (499.000 - 500.000).

Con un billón de moléculas, el intervalo es (499.999.000.000 - 500.001.000.000).

Son errores despreciables.

Pero cuando quedan dieciséis moléculas, el intervalo es (6 - 10) y la cosa cambia. Para ocho ya no se puede calcular porque n*p < 5.

Por eso, mi resolución del problema es una buena aproximación cuando se trata de cantidades grandes. Pero no para el final del problema.

Mi texto acaba preguntándose cómo de buena es ésta aproximación y si existe una manera mejor de enfocar este problema.

Al fin y al cabo, cada vez que me bebo media botella, voy sumando errores que no sé si son por exceso o por defecto.

¿Es 85 una buena aproximación? No tengo ni idea, pero estoy seguro de que al menos es el número medio de días. Espero respuestas de algún amable probabilista, que me calcule un intervalo de confianza.

@RobinHud dijo...

¡Vaya pájara, señor mío! Me ha remitido a mis infernales clases de química del bachiller. Confieso que no leí los números enteros

Dr. Bonis dijo...

Emilienko,

No creo que sea aplicable la distribución binomial. Precisamente para poder aplicar la distribución binomial la probabilidad del evento debe ser igual a lo largo del tiempo.

Definamos "evento" o "éxito" como el hecho de haber eliminado todas las moléculas de agua originales.

En el caso de la botella de agua la probabilidad no es siempre la misma. Cuando queda una sola molécula antigua la probabilidad es de 0,5, pero cuando la mitad de las moléculas son antiguas la probabilidad es muchísimo menor.

Se trata de un problema probabilístico mucho más complejo que intuyo que se debe resolver tirando de permutaciones y combinaciones y construyendo una función de probabilidad con ellas.

He deducido la función de probabilidad para un número (a,b) de moléculas (o pelotas de pingpong).

Para un conjunto inicial de (a,a) elementos.

La probabilidad de extraer la mitad (a) de los elementos aleatoriamente y obtener un número de elementos final de (a-n,a-m) viene dada por la función:

[ (a!/m! * a!/n!) / ((2a)!/(n+m)!) ] * [(2a-n-m) / (n!*m!) ]

Puedes ver un ejemplo de la función para 168 elementos iniciales aquí:

http://flic.kr/p/8yt64h

Hacía tiempo que no me repasaba la combinatoria...

Emilienko dijo...

"No creo que sea aplicable la distribución binomial. Precisamente para poder aplicar la distribución binomial la probabilidad del evento debe ser igual a lo largo del tiempo."

Claro, es lo que te intento decir, pero creo que no me estoy explicando. La binomial no sirve para valores pequeños de n, pero es una buena aproximación para números grandes, porque, al sacar una pelota roja entre un cuatrillón de pelotas rojas, apenas cambia la probabilidad.

En el post anterior ha sido un error mío decir que la función que intentabas representar era una binomial, porque no lo es; como bien dices "para poder aplicar la distribución binomial la probabilidad del evento debe ser igual a lo largo del tiempo".

Por cierto, ¿es posible calcular (10^23)!?

Emilienko dijo...

Y ya que nos ponemos y tienes un programa para dibujar funciones, ¿te importa restarle a tu curva de distribución la distribución binomial que yo propongo, a ver que sale?

Carlos Núñez dijo...

Joder Emilio...menuda paja mental te has hecho tío!! sobretodo por el hecho de que al final ni siquiera has conseguido el orgamo!!

Tienes que cambiar de compañeros de piso...Takaito no te "conviene".

Y después de hacer esto te sientes incómodo por lo de Borak?? amosnomejodas!!

Adrastea_Quiesce dijo...

todo eso suponiendo que una bacteria de las muchas que habrá en tu botella (ya vemos que estás al menos 85 días sin lavarla, guarro) no haya metabolizado la última molécula de agua. exijo que se tenga en cuenta esa variable.