3 de agosto de 2010

Cuarta vuelta al Hotel del Infinito (1)


Era la una de la mañana y Jorge y yo estábamos tomando un refresco disfrutando del calor del mes de julio en nuestra capital. Aunque a esas horas lo más adecuado parece ponerse a ligar, ligar es aburrido y siempre lo mismo; así que nos quedamos hablando de Matemáticas, que a esas horas resulta estimulante.

-Oye, Jorge. Siempre se me olvida, ¿cómo se resolvía la tercera parte de la paradoja del Hotel del Infinito?

El Hotel del Infinito es un delicioso problema en tres partes ideado por el matemático alemán David Hilbert que dice así: "Érase una vez en la que decidieron construir el hotel más grande del mundo. Era tan grande, tan grande, que en el hotel había infinitas habitaciones. Su construcción fue una difícil tarea, pero consiguió terminarse."

PARTE UNO

Un día, se encontraban todas las habitaciones ocupadas. Entonces llegó a la recepción un nuevo huésped, pidiendo una habitación para él. Aunque al principio, el recepcionista le dijo que el hotel estaba lleno, más tarde se le ocurrió una estratagema para conseguir alojarlo. Cogió el sistema de megafonía y pidió a todos los inquilinos que se trasladaran a la habitación superior: el que estaba en la habitación 1 debía pasar a la 2; el que estaba en la 2, a la 3; el que estaba en la 3 a la 4. En resumen, el huésped de la habitación "n" pasaba a la habitación "n+1". Con este sistema, se consiguió liberar la habitación 1, que es donde se hospedó este último en llegar.

PARTE DOS

Todo se complicó al día siguiente cuando, estando el hotel de nuevo completamente lleno, llegó a la recepción un autobús que dentro transportaba a infinitos turistas. El método aplicado el día anterior no funcionaba, pero el recepcionista tuvo una idea feliz. Cogió de nuevo el micrófono y pidió a cada uno de los alojados que multiplicara por 2 su número de habitación y se trasladaran a la habitación cuyo número fuera el resultado de la multiplicación. Así, el número 1 se cambió a la habitación 2; el 2, a la 4; el 3, a la 6 y en definitiva el "n" a la "2n". De este modo, consiguió dejar vacías todas las habitaciones impares. Como el número de habitaciones impares es infinito, allí alojó a todos los turistas del autobús.

PARTE TRES

La catástrofe ocurrió al tercer día cuando el recepcionista, encontrándose otra vez el hotel totalmente ocupado, tuvo que alojar a infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno.

-Jorge, ¿cómo se resolvía esa parte?
-Ahora mismo, aquí, no me acuerdo. Pero creo que estaba relacionado con asignar números primos a los que llegan en los autobuses.

Tras pensar durante un rato y sin conseguir recordar la solución original, Jorge propuso una solución y yo otra diferente. Cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes, pero os dejamos que meditéis el problema un par de días para ver si conseguís aportar un método mejor que el de Jorge o el mío.

Foto: "Everything's bigger III" de MightyBoyBrian.

9 firmas. Añade tú la tuya:

Pilar dijo...

Joder Emilio, sabes que nunca se me dieron bien las Matemáticas pero como trabajo en un hotel, dame la solución, please!!! Un besito infinito.

angelurri dijo...

aaaaaaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhh, quizá haciendo un anexo?
no, en serio, no sé, estoy estudiando estadística II, si quieres me invento algo relacionado con la probabilidad ¡chin! :)

Jorge C dijo...

Una posible solucion seria en vez de multplicar los numeros primos en progresion aritmetica o geometrica, hacerlo elevando los numeros primos por si mismos mas una unidad, de tal manera que al haber inifinitas habitaciones e infinitos inquilinos, pero si desplazamos a los anteriores inquilinos al mismo numero de habitacion mas uno, siempre avanzan, dejando habitaciones libres para todos aquellos infinitos nuevos inquilinos.....aunque seguramente esto no serviria como solucion....n elevado a n + 1.....

lobobailon dijo...

Lo de los números primos me dio la pista. Yo asignaría cada autobús a una habitación cuyo número fuera un número primo (vamos a llamarlos A, B, C...).
Después numeraría a cada turista de manera ordenada (1, 2, 3... n) y asignaría la habitación A elevado a 1 al primero, A elevado a 2 al segundo, A elevado a n al último.
Eso sí, la habitación número 1 no la asignaría porque si no entrarían todos los turistas en la misma.
Así quedarían incluso habitaciones libres por si viene el típico primo de Zamora a hacer una visita.

saname dijo...

Pienso que la solucion dada para la parte dos (que deja libres las habitaciones impares, que son infinitas) seguiría siendo válida para todos los demás casos en que acudan infinitos clientes

Ter0n dijo...

Qué conversación más friki. Anda, vente para Jaén algún finde, que parece que aquí mi frikismo anda sobrevalorado ;-)

Un abrazo y que pases un feliz veran en tan buenas compañías.

Emilienko dijo...

La solución de Jorge C se aproxima bastante a la más aceptada, pero el método de liberación de habitaciones ocupadas falla porque, según su método, a veces se desplazarían residentes antiguos a habitaciones ya ocupadas por turistas nuevos.

La solución de lobobailon empieza muy bien, pero le falta la segunda parte: cómo liberar las habitaciones ocupadas y a dónde enviar a las personas que están en esas habitaciones. El enunciado del problema no habla nada de habitaciones libres, por lo que pueden producirse éstas o no (me ha encantado lo del primo de Zamora).

Sobre la pregunta de Sáname, le puedo demostrar que la segunda solución no es válida. Si dejamos libres sólo las habitaciones impares, podemos alojar al primer autobús con infinitos ocupantes y después de esto, el hotel queda lleno. ¿Donde meter entonces a los infinitos ocupantes de los infinitos autobuses que quedan?

lobobailon dijo...

AAAAAHhhhhhhhhhh!!!
No había tenido en cuenta que el hotel estaba lleno!!!
Todos al sótano!!!

saname dijo...

Si las habitaciones son infinitas, por muchos infinitos autobuses con infinitos clientes, cabrán infinitamente.

Infinitivamente suyo...
Iñaki (hasta el infinito y más allá)