3 de agosto de 2011

El problema de la corona (1)


Para que me dejen descansar en mi semana de vacaciones, les ofrezco hoy un bonito problema que seguramente tenga repercusiones en su vida diaria.

El problema parece sencillo a simple vista. Consiste en calcular el área de la corona circular de la foto sabiendo que la línea azul mide 10 centímetros. Esa línea azul es la línea recta (cuerda) más larga que cabe dentro de la corona. Desde este momento les digo que el problema tiene solución.

Primera forma de calcularlo (difícil)

El área de la corona debe ser igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor. El área de un círculo es Pi por el radio del círculo al cuadrado. De este modo:

Área círculo grande = Pi * segmento rojo al cuadrado.
Área círculo pequeño = Pi * segmento amarillo al cuadrado.

Área corona circular = Área circulo grande - área círculo pequeño = Pi * segmento rojo al cuadrado - Pi * segmento amarillo al cuadrado.

Sacando factor común, área corona circular = Pi * (segmento rojo al cuadrado - segmento amarillo al cuadrado).

Por otro lado, podemos dibujar dos radios tal y como en el dibujo, de forma que se forme un triángulo rectángulo. Según el teorema de Pitágoras, Segmento rojo al cuadrado = Segmento amarillo al cuadrado + la mitad del segmento azul al cuadrado.

Despejando, la mitad del segmento azul al cuadrado (cinco por cinco, veinticinco) = segmento rojo al cuadrado - segmento amarillo al cuadrado.

Habíamos dicho antes que el área corona circular = Pi * (segmento rojo al cuadrado - segmento amarillo al cuadrado). Sustituyendo el paréntesis, el área de la corona circular es Pi * 25, más o menos 78,5 centímetros cuadrados.

¿Lo hemos comprendido? ¿Nos hemos perdido al sustituir a la vez las dos incógnitas? ¿Y si les digo que existe una forma mucho más sencilla de resolver el problema?

3 firmas. Añade tú la tuya:

Mar dijo...

Muy bien ^^ he seguido el hilo.

¿Una forma más fácil? Creo que me resulta mas fácil imaginar la que usaste tú xD no se me ocurre.

La chica de arenisca dijo...

Ohhh adoro la trigonometría!!!! Aunque la tengo hiperoxidada.
Espero que nos saques de dudas pronto, mientras seguiré dandole vueltas! ^^

Ramón dijo...

Google, problema de la corona, y te sale Arquímedes y su dichosa corona de oro. Y una referencia a la corona del glande ;-). Con problema de la corona círculos, salen cosas más centradas. Ya hay gente en el mundillo de los números. Uno incluso habla de contar cuadritos al poner el problema sobre una rejilla cuadriculada (más o menos). Feliz verano.